증명

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두 다각형 \(\rm A\), \(\rm B\)가 주어진 다각형 \(\rm C\)와 닮은꼴이라고 하자.

그러면 두 다각형 \(\rm A\), \(\rm B\)가 닮은꼴임을 보이자.

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두 다각형 \(\rm A\), \(\rm C\)는 닮은꼴이므로 대응하는 각들의 크기가 같고 같은 각을 끼고 있는 변들의 길이가 비례한다. [VI권 정의 1]

그리고 다각형 \(\rm B\), \(\rm C\)는 닮은꼴이므로 대응하는 각들의 크기가 같고 같은 각을 끼고 있는 변들의 길이가 비례한다.

그러므로 두 다각형 \(\rm A\), \(\rm B\)는 다각형 \(\rm C\)와 각각 대응하는 각들의 크기가 같으면 같은 각을 끼고 있는 변들이 비례한다. 그러므로 두 다각형 \(\rm A\), \(\rm B\)는 닮은꼴이다. [V권 명제 11]

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그러므로 주어진 한 다각형에 대해 닮은꼴인 두 다각형은 서로 닮은꼴이다.

Q.E.D.