X 권
명제
네 개의 수들이 서로 비례하고 첫 번째 수와 두 번째 수가 같은 단위로 측정할 수 있으면, 세 번째 수와 네 번째 수도 같은 단위로 측정할 수 있다. 그리고 첫 번째 수와 두 번째 수를 같은 단위로 측정할 수 없으면, 세 번째 수와 네 번째 수도 같은 단위로 측정할 수 없다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 \(a:b=c:d\)를 만족한다. \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(c\), \(d\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. 그리고 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 \(c\), \(d\)도 같은 단위로 측정할 수 없다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 \(a:b=c:d\)를 만족한다. 그리고 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러면 \(c\), \(d\)도 같은 단위로 측정할 수 있음을 보여야 한다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로, 비 \(a:b\)는 어떤 두 수의 비와 같다. [X권 명제 5]
그런데 \(a:b=c:d\)이므로 비 c:d도 어떤 두 수의 비와 같다. [V권 명제 11] 그러므로 \(c\), \(d\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]
다음으로 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자.
그러면 \(c\), \(d\)도 같은 단위로 측정할 수 없음을 보여야 한다.
두 수 \(a\), \(b\)를 같은 단위로 측정할 수 없으므로 비 \(a:b\)는 어떤 두 수의 비가 같은 두 수가 존재하지 않는다. [X권 명제 7]
그런데 \(a:b=c:d\)이므로 \(c\), \(d\)도 어떤 두 수의 비가 같은 두 수가 존재하지 않는다. [V권 명제 11] 그러므로 비 \(c\), \(d\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.[X권 명제 8]
네 개의 수들이 서로 비례하고 첫 번째 수와 두 번째 수가 같은 단위로 측정할 수 있으면, 세 번째 수와 네 번째 수도 같은 단위로 측정할 수 있다. 그리고 첫 번째 수와 두 번째 수를 같은 단위로 측정할 수 없으면, 세 번째 수와 네 번째 수도 같은 단위로 측정할 수 없다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 14]를 시작으로 [X권]에서 반복적으로 사용된다. 의심할 여지 없이, 원론의 이전 명제에서도 사용되었다.