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[수학사.용어] 코사인법칙/cosine rule

[출전]

· Posted at 2011-12-01 17:13:44 by 수학사랑 · View 18378

&nbsp;임의의 삼각형 ABC에서 다음이 
성립한다. 
<IMG 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1324523991.jpg" width=381 
height=152>
이것은 피타고라스 정리의&nbsp;일반화로서 코사인법칙이라고 한다. 
&nbsp;
위의 공식은 두 변과 끼인각으로 대변의 길이를 구할 수 있는 식이다. 
이 식을 다음과 같이 변형하면, 세 변의 길이로부터 세 각의 코사인 값을 구할 수 있는 식이 된다. 

<IMG style="WIDTH: 514px; HEIGHT: 49px" 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1324524038.jpg" width=557 
height=49>
&nbsp;
(증명 1) 삼각비의 정의를 이용하여 증명해 보자.
다음&nbsp;그림에서 색깔이 같은 부분끼리 넓이가 같다. 그 이유를 삼각비를 이용하여 설명해 보자. 
<IMG style="WIDTH: 526px; HEIGHT: 248px" 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1324524123.jpg" width=549 
height=265>
위의 오른쪽 그림에서 색칠한 두 도형의 넓이는&nbsp; 둘다&nbsp;&nbsp;
<OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=57 
align=absMiddle height=18><PARAM NAME="_cx" VALUE="1508"><PARAM NAME="_cy" VALUE="476"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/13.3`4.3/12,[1]{ab`rm{cos`theta}}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT>이다. 
또 색칠한 사각형의 넓이는 두 벡터&nbsp;BA, BC의 내적이기도 하다.&nbsp; 

위의 내용을 예각삼각형 ABC에 대하여 적용하면 다음과 
같다.&nbsp;&nbsp;
아랫쪽 정사각형의 넓이는 위쪽 두 정사각형의 넓이의 합에서 2개의 녹색직사각형의 넓이를 빼면 
된다.
<IMG src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1324524226.jpg" width=594 
height=223>
&nbsp;
(증명 2) <A hideFocus 
style="COLOR: #ff9900; CURSOR: hand; TEXT-DECORATION: none; selector-dummy: true" 
class=defined 
onmouseover="this.style.color='royalblue';this.style.textDecoration='underline';" 
title="수학백과 검색!!!" 
onmouseout="this.style.color='#FF9900';this.style.textDecoration='none'" 
onclick=OpenLinkedSubj(this)>원과 비례</A>를 이용하여 증명해 보자. 
삼각형 ABC의 꼭지점 C를 중심으로하고, 점 A를 지나는 원을 그린다. 
삼각형의 변의 연장선과 원이 만나는 점들을 선분으로 잇는다.&nbsp; 
<IMG style="WIDTH: 429px; HEIGHT: 376px" 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1324524291.jpg" width=445 
height=376>
&nbsp;
(증명 3) 피타고라스의 정리와 삼각비를 이용하여 증명해 보자.
<IMG style="WIDTH: 479px; HEIGHT: 331px" 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1324524362.jpg" width=494 
height=331>
&nbsp;
(증명 4) 정사영의 길이와 삼각비를 이용하여 증명해 보자.
<IMG style="WIDTH: 495px; HEIGHT: 316px" 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1324524403.jpg" width=503 
height=316>
&nbsp;
(증명 5) 톨레미 정리와 삼각비를 이용하여 증명해 보자.
<IMG style="WIDTH: 431px; HEIGHT: 369px" 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1324524447.jpg" width=411 
height=346>
&nbsp;
(증명 6) 점 C를 움직이면서 유클리드의 증명을 이해해 보자. 또 직각삼각형이 되게 해 보자. 

<IMG style="WIDTH: 443px; HEIGHT: 189px" 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1324524571.jpg" width=465 
height=189>
&nbsp;&nbsp;
다음은 유클리드 증명으로 만든 테셀레이션이다.
<IMG 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1324524616.jpg" width=400 
height=232>
&nbsp;
(증명 7) 좌표평면에서 해석기하로&nbsp;증명해 보자. 
<IMG style="WIDTH: 301px; HEIGHT: 263px" 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1324524682.jpg" width=321 
height=263>
(증명 8) 벡터의 내적을 이용하여 증명해 보자. 
<IMG style="WIDTH: 467px; HEIGHT: 111px" 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1324524710.jpg" width=486 
height=111>

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