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[대수] 이차방정식의 근

[출전]

· Posted at 2011-12-08 10:03:21 by 수학사랑 · View 2093

정수m, n 에 
대하여 이차방정식 x² + mx +n = 0의 
근이 유리수이면 그 근은 정수임을 증명하여라.
&nbsp;
[증명]

이차방정식 x² + mx +n = 
 0의 근은 근을 빨리 구하는 공식이 있다. 이를 우리는 근의 
공식이라고 부른다.
근의 공식은
<IMG src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1323305449.jpg"> 
이다. 

이 식에 대입하면, 
<IMG src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1323305486.jpg">
이다. 

이 때, 이 근이 유리수가 될려면, 근호안의 값은 0이거나 완전제곱식이 
 되어야한다.
따라서 

<IMG src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1323305529.jpg">
근은 <IMG style="width: 57px; height: 28px;" src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1323305571.jpg" 
width="58" height="27">이고 이 근이 정수이려면 
m이 짝수면 된다.
그런데 위 조건을 정리하면 ==&gt; m² = 4n

여기서 m, n이 정수이므로 우변이 짝수이므로 좌변도 짝수이다. 

정수 m²이 짝수이면 m도 짝수이다.
ii) 근호 안이 완전제곱식이어야 
 하므로m² - 4n = a² 
(a〉0)로 놓으면
근은 
<IMG src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1323305826.jpg">
이 때, 근과 계수와의 관계에 의하여 (또는 위 조건 m² - 4n = 
 a² 을 정리하면)
<IMG src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1323305900.jpg">
&nbsp;
따라서 i), ii)에 의하여 
정수m, n 에 대하여 이차방정식x² + mx +n = 0의 근이 유리수이면 그 
 근은 항상 정수이다.

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